Brevet Blanc n°1

Classe de 3^{e} Le 28 Février 2002

L’emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986 publiée au B.O. n°34 du 2 octobre 1986).

En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l’épreuve, la présentation, la rédaction et l’orthographe seront évaluées sur 4 points.

Le sujet est composé de 4 feuilles numérotées 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4.

Activités Numériques

\underline{Exercice n°1}

1. On donne

A = \frac{2}{5} − \frac{3}{2} × \frac{3}{5}  B = \frac{−2.4 × 10^{7} × 8 × 10^{−9}}{3 × 10^{−3}}  C = \frac{4 − (2 − 5)^{2}}{4 + 5}

Calculer les nombres A, B et C. Ecrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions les plus simples possibles.

2. Ecrire D donné ci-dessous sous la forme a\sqrt{b} où a et b sont des entiers, avec b le plus petit possible.

D = 3\sqrt{20} + \sqrt{45} − \sqrt{180}

\underline{Exercice n°2}

1. On donne F = (4x − 3)^{2} − (x + 3)(3 − 9x).

(a) Développer et réduire (4x − 3)^{2}.

(b) Montrer que F = (5x)^{2}.

(c) Trouver les valeurs de x pour lesquelles F = 125.

2. On donne C = (3x − 2)^{2} − 25.

(a) Développer et réduire C.

(b) Factoriser C.

(c) Résoudre l’équation (3x − 7)(x + 1) = 0.

\underline{Exercice n°3} Les numéros d’appel téléphonique en France commencent par 01, 02, 03, 04, ou 05. Dans une entreprise ayant effectué 1500 appels, on a relevé le tableau suivant :

Début du numéro

01 02 03 04 05

Nombres d’appels

330 144 261 171

1. Quel est le nombre d’appels pour la région Ile de France (numéro commençant par 01) ?

2. Quel est le pourcentage d’appels pour la région Nord-Ouest (numéro commençant par 02) ?

Activités Géométriques

\underline{Exercice n°1} Dans cet exercice l’unité de longueur est le centimètre.

ABC est un triangle rectangle en B tel que AB = 4 et B̂AC = 60°. La figure ci-dessous n’est pas réalisée en vraie grandeur.

1. Démontrer que AC = 8.

2. F est le point de la demi-droite [AC) tel que AF = 11 et D est le point de la demi-droite [AB) tel que AD = 5, 5. Démontrer que les droites (BC) et (DF) sont parallèles.

\underline{Exercice n°2}

On donne un cône de révolution de sommet S et de hauteur SO = 8 cm (voir ci-dessous). Le rayon de la base est égal à 3 cm. La figure n’est pas faite en vraie grandeur et on ne demande pas de la refaire.

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Calculer la longueur de la génératrice [SA]. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0, 1 cm.

2. Déterminer la mesure de l’angle ÔSA arrondie au degré.

3. Calculer le volume du cône en prenant pour π la valeur approchée 3, 14.

4. Dessiner le disque de base en vraie grandeur, tracer le diamètre [AB] et placer sur le cercle un point M tel que AM = 5 cm. Soit E le point du rayon [OB] tel que OE = 1 cm. Par E, tracer la parallèle à la droite (BM), elle coupe la droite (AM) en F. En admettant que le triangle AMB est rectangle en M, calculer la longueur AF.

Problème

La figure est à faire au fur et à mesure.

1. Tracer un segment [BC] tel que BC = 15 cm. Placer un point A tel que AB = 9 cm et AC = 12 cm.

2. Démontrer que ABC est un triangle rectangle.

3. (a) Placer le milieu M du segment [BC]. Tracer le cercle de diamètre [AB]. Ce cercle recoupe le

segment [BC] en D et le segment [AM] en E.

(b) Démontrer que les triangles ABE et ABD sont rectangles.

4. (a) Construire le point F, symétrique du point E par rapport au point M.

(b) Démontrer que le quadrilatère BECF est un parallélogramme.

(c) En déduire que le quadrilatère (BE) et (CF) sont parallèles, et que les droites (AF) et (CF)

sont perpendiculaires.

5. Soit H le point d’intersection des droites (AD) et (AB). Soit K le point d’intersection des droites (AD) et (CF).

(a) Que représentent les droites (AD) et (BE) pour le triangle ABM ?

(b) En déduire que les droites (HM) et (AB) sont perpendiculaires.

(c) Démontrer de même que les droites (KM) et (AC) sont perpendiculaires.