%&latex \documentclass[10pt,a4paper,dvips]{article} % \usepackage[applemac]{inputenc} % \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{geometry,graphicx} % ============================================================================== \newtheorem{propriete}{Propriété} \newtheorem{definition}{Définition} \newtheorem{theoreme}{Théorème} \def\Vect#1{\overrightarrow{\strut #1}} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut #1}} \everymath{\displaystyle} \geometry{ hmargin=1.5cm , vmargin=1cm} % ============================================================================== \begin{document} \begin{center}\huge Géométrie dans l'espace en seconde \end{center} \section{Généralités} La géométrie élémentaire de l'espace est née du souci d'étudier les propriétés de l'espace dans lequel nous vivons. Les objets élémentaires de cette géométrie sont les points, les droites et les plans. On considère ces notions comme des notions premières, c'est-à-dire suffisamment familières pour ne pas les définir. Pour leur étude il sera nécessaire d'admettre un certain nombre de propriétés de base.\\ Un point désigne un endroit précis. On le représente par un point ($.$) ou une croix $(\times)$, et on lui donne un nom. Mais il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, "point", qui n'a pas d'étendue.\\ Une droite est un ensemble de points, qu'on représente par un "segment", et auquel on donne un nom. il faut bien comprendre qu'il ne s'agit que d'une représentation de l'objet théorique, "droite", qui n'a pas de largeur, et qui est illimité dans les deux sens.\\ Un plan est un ensemble de points. La feuille de papier est une bonne représentation d'un plan. Lorsque l'on veut représenter plusieurs plans de l'espace, on représente chacun d'entre eux par un parallélogramme, censé représenter un rectangle en "perspective". Il ne s'agit là que d'une représentation de l'objet théorique "plan" qui n'a pas d'épaisseur et illimité dans tous les sens. \begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.1} \end{center} \begin{propriete} Les résultats de géométrie du plan sont applicables dans chaque plan de l'espace. \end{propriete} \section{Axiomes d'incidence} Les axiomes d'incidences de la géométrie dans l'espace sont des axiomes qui fournissent des relations entre les points, les droites et les plans de cette géométrie. \begin{enumerate} \item Par deux points distincts de l'espace il passe une et une seule droite. Cette droite peut-être notée $(AB)$. \item Par trois points non alignés, $A,B$ et $C$ passe un et un seul plan. Ce plan peut-être noté $(ABC)$.\\ \item Si $A$ et $B$ sont deux points d'un plan $P$, tous les points de la droite $(AB)$ appartiennent au plan. \end{enumerate} Il en résulte qu'un plan peut être déterminé par l'une des conditions suivantes~:\\[1em] \begin{tabular}{ccc} trois points non alignés & deux droites sécantes & une droite et un point extérieur à celle-ci \\ \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.3} & \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.4} & \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.5} \\ \end{tabular} \section{Positions relatives de droites et plans} \begin{enumerate} \item $d$ et $d'$ sont deux droites de l'espace. Il n'existe que deux possibilités~: \begin{enumerate} \item il n'existe aucun plan contenant ces deux droites, elles sont dites non coplanaires, \begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.7} \end{center} \item il existe un plan contenant ces deux droites, elles sont dites coplanaires (elles sont alors sécantes ou parallèles dans ce plan). \end{enumerate} \item $d$ est une droite et $P$ un plan de l'espace. Il n'existe que trois possibilités~: \begin{enumerate} \item la droite et le plan n'ont qu'un point commun, la droite et le plan sont dits sécants (voir la figure précédente), \item la droite est incluse dans le plan, \item la droite et le plan n'ont aucun point commun. \end{enumerate} \item $P$ et $Q$ sont deux plans de l'espace. Il n'existe que trois possibilités~: \begin{enumerate} \item les plans ont un point commun et sont distincts, alors ils sont sécants suivant une droite passant par ce point, (ainsi deux plans distincts qui ont deux points communs sont sécants suivant la droite définie par ces deux points) \begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.2} \end{center} \item les plans sont confondus, \item ils n'ont aucun point commun. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Parallélisme dans l'espace} La liste des propriétés n'est pas exhaustive$\ldots$certaines propriétés "évidentes" concernant le parallélisme dans l'espace n'apparaissent pas dans cette section. \subsection{Définitions} \begin{definition}\hfill \begin{itemize} \item Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et non sécantes. Il en est ainsi de deux droites confondues ou bien coplanaires et sans point commun. \item Deux plans sont parallèles lorsqu'ils ne sont pas sécants. Il en est ainsi de deux plans confondus ou sans point commun. \item Une droite et un plan sont parallèles lorsqu'ils ne pas sécants. Il en est ainsi d'une droite incluse dans un plan ou d'une droite et d'un plan sans point commun. \end{itemize} \end{definition} \noindent Remarques~: \begin{itemize} \item Le fait que deux droites n'aient aucun point commun ne suffit pas pour conclure, dans l'espace, qu'elles sont parallèles. \item Deux droites strictement parallèles définissent un plan. \begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.6} \end{center} \end{itemize} \subsection{Parallélisme entre droites} \begin{theoreme} Deux droites parallèles à une même troisième droite sont parallèles entre elles. \end{theoreme} \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Si $P$ et $Q$ sont deux plans parallèles, alors tout plan qui coupe $P$ coupe aussi $Q$ et les droites d'intersection sont parallèles. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.8}\end{center}}\\ \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Si une droite est parallèle à deux plans sécants alors elle est parallèle à leur droite d'intersection. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.9}\end{center}}\\ \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} "Théorème du toit"\\ $d$ et $d'$ sont deux droites parallèles. $P$ est un plan contenant $d$ et $P'$ un plan contenant $d'$.\\ Si, en outre, les plans $P$ et $P'$ sont sécants, alors la droite $\Delta$ d'intersection de ces plans est parallèle à $d$ et $d'$. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.10}\end{center}}\\ \subsection{Parallélisme entre plans} \begin{theoreme} Deux plans parallèles à un même troisième plan sont parallèles entre eux. \end{theoreme} \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Si deux droites sécantes d'un plan $P$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $Q$, alors les plans $P$ et $Q$ sont parallèles. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.11}\end{center}}\\ \subsection{Parallélisme entre droite et plan} \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Si une droite $d$ est parallèle à une droite $d'$, alors la droite $d$ est parallèle à tout plan $P$ contennant la droite $d'$. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.12}\end{center}}\\ \section{Orthogonalité dans l'espace} \subsection{Définitions} \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{definition} Deux droites $d$ et $\Delta$ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces deux droites menées par un point $I$ quelconque sont perpendiculaires. ( Nous admettrons alors que les parallèles à $d$ et $\Delta$ passant par n'importe quel autre point sont également perpendiculaires) \end{definition} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.13}\end{center}}\\ \noindent Exemple~: $ABCDEFGH$ est un cube alors $(AD) \perp (HG)$.\\ \noindent Remarques~: \begin{itemize} \item Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires. En revanche la réciproque est vraie par définition de droites orthogonales. \item Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles. (facile à voir dans un cube) \end{itemize} \begin{definition} Une droite $d$ est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. \end{definition} \subsection{Orthogonalité d'une droite et d'un plan} \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Pour qu'une droite $\Delta$ soit orthogonale à un plan $P$ il suffit que $\Delta$ soit orthogonale à deux droites sécantes de $P$. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.14}\end{center}}\\ \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme}\hfill \begin{itemize} \item Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles. \item Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre. \end{itemize} \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.15}\end{center}}\\ \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme}\hfill \begin{itemize} \item Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre. \item Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles. \end{itemize} \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.16}\end{center}}\\ \subsection{Orthogonalité de deux droites de l'espace} \begin{theoreme} Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l'une est orthogonale à l'autre. \end{theoreme} \subsection{Plans perpendiculaires} \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{definition} Un plan $Q$ est perpendiculaire à un plan $P$ ($Q \perp P$), si il existe une droite de $Q$ orthogonale à $P$. (Dans ce cas on a aussi $P \perp Q$). %preuve dans le Durande lycee 1981 \end{definition} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.17}\end{center}}\\ \noindent Remarques~: \begin{itemize} \item l'exemple qu'il faut avoir en tête est celui d'un cube~: deux faces quelconques non parallèles sont perpendiculaires. \item Si $P \perp Q$ alors toute droite de l'un n'est pas orthogonale à l'autre, c'est vrai pour l'une d'entre elles.( Dans un cube $ABCDEFGH$ les faces $ABFE$ et $ABCD$ sont perpendiculaires mais la droite $(AF)$ n'est pas orthogonale à la face $ABCD$ car elle n'est pas orthogonale à (AB)) \item Si $P \perp Q$ et $P' \perp Q$ alors $P$ et $P'$ ne sont pas nécessairement parallèles (facile à voir dans un cube avec les faces). Cette relation de perpendicularité de plans est donc moins souple que celle de perpendicularité de droites. \end{itemize} \noindent \parbox[]{10cm}{ \begin{theoreme} Si $P$ et $P'$, deux plans sécants, sont perpendiculaires à un même plan $Q$, alors leur intersection est orthogonale à $Q$. \end{theoreme} } \parbox[]{6cm}{\begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig2c_espace.18}\end{center}}\\ \begin{theoreme} Si $P \perp Q$, toute droite de l'un, qui est orthogonale à leur intersection, est orthogonale à l'autre. (voir la figure de la définition précédente) \end{theoreme} \section{Vecteurs de l'espace} La notion de vecteur (sens, direction, longueur) vue en géométrie plane se généralise sans difficultés à l'espace. Les notions suivantes aussi~: \begin{enumerate} \item Pour tout point $O$ de l'espace et tout vecteur $\vect{u}$, il existe un point $A$ et un seul tel que $\Vect{OA}=\vect{u}$. \item Égalité de deux vecteurs à l'aide de la définition (sens, direction, longueur) ou caractérisation à l'aide d'un parallélogramme. \item Les règles de calculs (Relation de Chasles, règle du parallèlogramme, multiplication d'un vecteur par un réel) \item La colinéarité de deux vecteurs et son application au parallélisme ou bien à l'alignement de trois points. \end{enumerate} \end{document}