\exo{L'égalité~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$} On désigne par~$E_{ij}$ la matrice~$n \times n$ dont tous les termes sont nuls sauf le~$(ij)$-ème qui vaut~$1$ et pour~$i \not= j$ et~$\lambda \in \RR$, on introduit la matrice~$B_{ij}(\lambda) = {\rm I}_n + \lambda E_{ij}$. C'est un grand honneur pour moi de vous présenter~$B_{31}(\lambda)$ pour~$n=4$~: $$ B_{31}(\lambda) = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\ \lambda &0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} $$ Enfin on note~$E_n(\RR)$ le sous-groupe de~$GL_n(\RR)$ engendré par les matrices~$B_{ij}(\lambda)$ pour~$\lambda \in \RR$. Nous allons établir l'égalité~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$. \q Que vaut le produit~$B_{ij}(\lambda)B_{ij}(\mu)$ pour~$\lambda, \mu \in \RR$~? Quel est l'inverse de~$B_{ij}(\lambda)$~? \q Quel est l'effet sur une matrice~$M \in M_n(\RR)$ d'une multiplication par~$B_{ij}(\lambda)$ à droite~? Et à gauche~? \q Momentanément, on suppose que~$n=2$. \subq Commencer par dresser un dictionnaire liant les quatres transformations~: $$ L_1 \leftarrow L_1 + \lambda L_2 \qquad L_2 \leftarrow L_2 + \lambda L_1 \qquad C_1 \leftarrow C_1 + \lambda C_2 \qquad C_2 \leftarrow C_2 + \lambda C_1 $$ et les quatres multiplications par~$B_{12}(\lambda)$ à gauche et à droite et par~$B_{21}(\lambda)$ à gauche et à droite. \subq Montrer que pour toute matrice~$M$ de la forme~$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ avec~$a$ ou~$b$ non nul, il existe~$Q \in E_2(\RR)$ telle que~: $$ MQ = \begin{pmatrix}1&0\\c'&d'\end{pmatrix} $$ (on pourra distinguer les cas~$a = 0$, $b = 0$ et~$a,b$ non nuls). \subq En déduire que pour toute matrice~$M$ de taille~$2 \times 2$ avec une première ligne non nulle, il existe~$P, Q \in E_2(\RR)$ telles que~: $$ PMQ = \begin{pmatrix}1&0\\0&\Delta\end{pmatrix} $$ Au fait que vaut~$\Delta$~? \subq Montrer que pour toute matrice~$M \in SL_2(\RR)$ il existe~$P, Q \in E_2(\RR)$ telles que~$P M Q = {\rm I}_2$. Pourquoi cela prouve-t-il que~$M \in E_2(\RR)$. \subq \`A titre d'exemple, pour~$a \in \RR^*$ écrire la matrice~$\begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix}$ comme produit de~$B_{ij}(\lambda)$. \q Bon, il faut grandir maintenant et passer au cas $n$ quelconque en considérant~$M \in SL_n(\RR)$. \subq Commencer par montrer qu'il existe~$P,Q \in E_n(\RR)$ telles que~: $$ PMQ = \begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix} $$ avec~$N \in SL_{n-1}(\RR)$. \subq En déduire que~$SL_n(\RR) = E_n(\RR)$. \q Soit~$M \in GL_n(\RR)$, montrer qu'il existe~$P \in E_n(\RR)$ et une autre~$Q \in E_n(\RR)$ telles que~$M = P \times {\rm diag}(1, \ldots, 1, \Delta) = {\rm diag}(1, \ldots, 1, \Delta) \times Q$. \ifwithcorrection \correction \q On vérifie que~$B_{ij}(\lambda)B_{ij}(\mu) = B_{ij}(\lambda+\mu)$ ce qui permet de dire que~$B_{ij}(\lambda)^{-1} = B_{ij}(-\lambda)$. \q La multiplication par~$B_{ij}(\lambda)$ à droite revient à faire l'opération suivante sur les colonnes~$C_j \leftarrow C_j + \lambda_i C_i$. Quant à la multiplication à gauche, elle a pour effet l'opération sur les lignes suivante~$L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$. \q Commençons petit en supposant~$n = 2$. \subq Voici le dictionnaire~: \begin{align*} &B_{12}(\lambda) \times \bullet \; \Longleftrightarrow \; L_1 \leftarrow L_1 + \lambda L_2 &\bullet \times B_{12}(\lambda) \; \Longleftrightarrow \; C_2 \leftarrow C_2 + \lambda C_1 \\ &B_{21}(\lambda) \times \bullet \; \Longleftrightarrow \; L_2 \leftarrow L_2 + \lambda L_1 &\bullet \times B_{21}(\lambda) \; \Longleftrightarrow \; C_1 \leftarrow C_1 + \lambda C_2 \end{align*} Les traductions deviennent alors faciles. \subq On vérifie que~: \begin{align*} &\begin{pmatrix}0&b\\c&d\end{pmatrix} B_{21}({\textstyle \frac{1}{b}}) B_{12}(-b) = \begin{pmatrix}1&0\\ * & *\end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} B_{21}({\textstyle \frac{1-a}{b}}) B_{12}(-b) = \begin{pmatrix}1&0\\ * & *\end{pmatrix} \\ &\begin{pmatrix}a&0\\c&d\end{pmatrix} B_{12}({\textstyle \frac{1}{a}}) B_{21}(1-a) B_{12}(-1) = \begin{pmatrix}1&0\\ * &*\end{pmatrix} \end{align*} \subq L'étape précédente étant franchie, il suffit de tuer le coefficient~$c'$ ce qui se fait en multipliant à gauche par~$B_{21}(-c')$. \'Evidemment en bas à droite, on retrouve le déterminant de~$M$. \subq Si~$M \in SL_2(\RR)$ alors~$\det(M) = 1$ donc... \subq Le mieux est d'opérer les transformations et de traduire ensuite~: \begin{align*} \begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix} &\underrightarrow{C_2 \leftarrow C_2 + {\textstyle \frac{1}{a}} C_1} \begin{pmatrix}a&1\\0&1/a\end{pmatrix} \underrightarrow{C_1 \leftarrow C_1 + (1-a) C_2} \begin{pmatrix}1&1\\\frac{1-a}{a}&1/a\end{pmatrix} \\ &\underrightarrow{C_2 \leftarrow C_2 - C_1} \begin{pmatrix}1&0\\\frac{1-a}{a}&1\end{pmatrix} \underrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - {\textstyle \frac{1-a}{a}} L_1} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{align*} ce qui se réécrit~: $$ \begin{pmatrix}a&0\\0&1/a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\\frac{1-a}{a}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\a-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-1/a\\0&1\end{pmatrix} = B_{21}({\textstyle \frac{1-a}{a}})B_{12}(1)B_{21}(a-1)B_{12}({\textstyle \frac{-1}{a}}) $$ \q Considérons~$M \in SL_n(\RR)$~; on note~$M = (a_{ij})$. \subq On commence par faire apparaître un~$1$ en position~$a_{11}$. Si ce terme est nul il suffit de multiplier à droite par~$B_{i1}(1/a_{1i})$ avec~$a_{1i} \not = 0$ dont l'existence est assurée~$M$ étant inversible. Si~$a_{11} \not= 0$ alors on s'aide d'un autre coefficient~$a_{1i}$ non nul si un tel élément existe~: on multiplie à droite par~$B_{i1}(\frac{1-a_{11}}{a_{1i}})$. Enfin, si tous les~$a_{1i}$ sont nuls pour~$i \geq 2$, on procède en deux temps en multipliant toujours à droite par~$B_{12}(\frac{1}{a_{11}}) B_{21}(1-a_{11})$. \`A l'issue de cette étape, on a~$a_{11} = 1$. Il est alors aisé de tuer les coefficients~$a_{1i}$ et~$a_{j1}$. Pour les premiers, il suffit de multiplier à droite par~$B_{1i}(-a_{1i})$ et pour les seconds à gauche par~$B_{j1}(-a_{j1})$. \subq On conclue par récurrence. \q ok. \fi