\exo{Déterminant de Gram et distance d'un point à un sous-espace} \newcommand{\Gram}{\operatorname{Gram}} Le déterminant de Gram d'une famille~$v_1, \ldots, v_n$ de vecteurs d'un espace euclidien~$E$ de dimension finie est noté~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$ et est défini par~: $$ \Gram(v_1, \ldots, v_n) = \det(\ideng{v_i, v_j}_{i,j}) $$ \q Montrer que~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$ est nul si et seulement si la famille~$\{v_1, \ldots, v_n\}$ est liée. \q Soit~$F$ un sous-espace vectoriel de~$E$ et~$\{f_1, \ldots, f_m\}$ une base (quelconque) de~$F$. On décompose tout~$v \in E$ sous la forme~$v = v' + v''$ avec~$v' \in F$ et~$v'' \in F^\perp$. Montrer que~: $$ \Gram(v, f_1, \ldots, f_m) = \|v''\|^2 \Gram(f_1, \ldots, f_m) $$ et en déduire que~: $$ d(v, F)^2 = \frac{\Gram(v, f_1, \ldots, f_m)}{\Gram(f_1, \ldots, f_m)} $$ où~$d(v, F)$ désigne la distance de~$v$ à~$F$. \ifwithcorrection \correction \q Si~$\Gram(v_1, \ldots, v_n) = 0$ alors il existe des réels~$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ non tous nuls tels que~: $$ (\ideng{v_i, v_j}_{i,j}) \begin{pmatrix}\lambda_1\\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ideng{v_1, \lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n} \\ \vdots \\ \ideng{v_n, \lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n} \\ \end{pmatrix} = 0 $$ Par conséquent, la combinaison linéaire~$\lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n$ appartient au sous-espace~$\Vect(v_i)$ et à son orthogonal~$\Vect(v_i)^\perp$~; cette combinaison linéaire est donc nulle ce qui montre que la famille~$\{v_1, \ldots, v_n\}$ est liée. Réciproquement, si l'on dispose d'une combinaison linéaire~$\lambda_1 v_1 + \cdots \lambda_n v_n$ nulle et non triviale alors il existe~$i$ tel que~$\lambda_i \not= 0$. Il suffit, pour conclure, d'opérer les deux combinaisons linéaires suivantes sur les colonnes de la matrice~$(\ideng{v_i, v_j}_{i,j})$~: $$ C_i \leftarrow \lambda_i C_i \qquad \text{puis} \qquad C_i \leftarrow C_i + \sum_{j \not=i} \lambda_j C_j $$ La $i$-ème colonne de le nouvelle matrice est nulle ce qui force son déterminant à l'être aussi~; comme ce dernier n'est rien d'autre que~$\lambda_i^n \Gram(v_1, \ldots, v_n)$, on en déduit bien la nullité de~$\Gram(v_1, \ldots, v_n)$. \q Par définition de~$v'$ et~$v''$, on a~$\ideng{v,v} = \ideng{v',v'} + \ideng{v'',v''} = \|v'\|^2 + \|v''\|^2$ et~$\ideng{v, f_i} = \ideng{v', f_i}$ pour tout~$i$. Dans la matrice définissant~$\Gram(x, f_1, \ldots, f_m)$ l'opération~: $C_1 \leftarrow C_1 + \sum_i \lambda_i C_{i+1}$ permet de remplacer le premier terme~$\ideng{v,v}$ par~$\ideng{v'',v''}$ et de tuer tous les premiers termes des $m$ dernières lignes. Il suffit alors pour conclure de développer par rapport à le première colonne. \fi